Question

（2011•河北區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

(m-1)x2+x+2
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有2個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的取值，討論函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有2個(gè)極值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)f'（x）=0在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，然后利用根的分布去求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x²+（m+1）x+1，…（2分）
①當(dāng)△≤0，即（m-1）²-4≤0，-1≤m≤3時(shí)，
函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；…（4分）
②當(dāng)△＞0，即m＜-1或m＞3時(shí)，
令f'（x）=0，解得x=

1-m± m2-2m-3

2

，…（6分）
所以，函數(shù)f（x）在(-∞，

1-m- m2-2m-3

2

)內(nèi)單調(diào)遞增；
在(

1-m- m2-2m-3

2

，

1-m+ m2-2m-3

2

)內(nèi)單調(diào)遞減；
在(

1-m+ m2-2m-3

2

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增．…（8分）
（Ⅱ）若f'（x）=0在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
得

△＞0 0＜ 1-m 2 ＜2 f(2)＞0 f(1)＞0.

，解得-

3

2

＜m＜-1．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，對(duì)應(yīng)參數(shù)問(wèn)題，必須要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．