Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），且點（-1，）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知點Q（，0），動直線l過點F，且直線l與橢圓C交于A，B兩點，證明：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知：c=1，根據橢圓定義可求得a，根據b²=a²-c²可得b；
（Ⅱ）分直線l的斜率為0，不為0兩種情況進行討論：當直線l的斜率為0時直接按照向量數量積運算即可；當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯立直線方程與橢圓方程消掉x得y的二次方程，由韋達定理及向量數量積公式代入運算可得結論；
解答：（Ⅰ）解：由題意知：c=1．
根據橢圓的定義得：，解得．
所以 b²=2-1=1．
所以橢圓C的標準方程為．
（Ⅱ）證明：當直線l的斜率為0時，．
則 ．
當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為：x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由，可得：（t²+2）y²+2ty-1=0．
顯然△＞0，則，
因為x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1，
所以=
=
=
=，即 ．
綜上，=-，即為定值．
點評：本題考查橢圓方程、直線方程及其位置關系，考查向量的數量積運算，考查學生解決問題的能力．