Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），x∈[-

π

2

，

π

2

]，
（1）求證：（

a

-

b

）⊥（

a

+

b

）；
（2）|

a

+

b

|=

1

3

，求2cosx的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

專題：計(jì)算題,證明題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）求出向量a，b的模，由向量垂直的條件，即可得證；
（2）由向量的平方即為模的平方，將原式兩邊平方，化簡(jiǎn)，再由向量的數(shù)量積公式，運(yùn)用兩角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，即可得到．

解答： （1）證明：由于向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
則|

a

|=|

b

|=1，
即有（

a

-

b

）•（

a

+

b

）=

a

2-

b

2=0，
則（

a

-

b

）⊥（

a

+

b

）；
（2）解：由于向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
則|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

=cos2x，
由于|

a

+

b

|=

1

3

，
則

a

2+

b

2+2

a

•

b

=

1

9

，
即有2+2cos2x=

1

9

，
則2cos²x=

1

18

，
由于x∈[-

π

2

，

π

2

]，
則2cosx=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量及運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查兩角和的余弦公式，考查二倍角的余弦公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．