Question

如圖：直線y=x與拋物線y=x²-4交于A、B兩點，直線l與直線y=x和y=-5分別交于M、Q，且=0，=。

（1）求點Q的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點P為拋物線上且位于線段AB下方（含點A、B）的動點時，求△OPQ面積的最大值。

Answer 1

解：（1）聯(lián)立
解得或
即A（-4，-2），B（8，4）
∵
∴QM⊥AB
又
∴M是AB的中點，即M（2，1）
∴l(xiāng)是線段AB的垂直平分線
又k_AB=
∴l(xiāng)的方程為y-1=-2（x-2），
即2x+y-5=0，令y=-5，得x=5，
∴Q=（5，-5）。
（2）直線OQ的方程為：x+y=0
由題意可設(shè)P，-4≤x≤8，且O、P、Q不共線
則點P到直線OQ的距離為：

又
∴
其中x∈[-4，8]，且O、P、Q不共線，
令f（x）=（x+4）²-48，
則當(dāng)x∈[-4，8]時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
又當(dāng)x=-4時，|x²+8x-32|=48，
當(dāng)x=8時，|x²+8x-32|=96
∴當(dāng)x=8時，（S_△QPO）_max=×96=30。