Question

設(shè)數(shù)列{a_n}{b_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意n∈N^*．都有，b₁=e，．c_n=a_n•lnb_n（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）試探究是否存在整數(shù)λ，使得對(duì)于任意n∈N^*，不等式恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閍_n＞0，，①
當(dāng)n=1時(shí)，，解得a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，有，②
由①-②得，．
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1．
因?yàn)閍_n＞0，所以a_n-a_n-1=1（n≥2），即數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n．
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/147151.png' />，且b_n＞0，取自然對(duì)數(shù)得lnb_n+1=2lnb_n，
由此可知數(shù)列{lnb_n}是以lnb₁=lne=1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以．
（2）由（1）知，，
所以 ③
④
由③-④得，
所以．
（3）由a_n=n，得，
由可得，
即使得對(duì)于任意n∈N^*且n≥2，不等式恒成立等價(jià)于使得對(duì)于
任意n∈N^*且n≥2，不等式恒成立．
∵．
又令，
由
可得，
化簡得：，
解得2≤n≤3，所以當(dāng)n=2或3時(shí)，g（n）取最小值，最小值為，
所以λ=2時(shí)，原不等式恒成立．
分析：（1）根據(jù)原題給出的遞推式，取n=1求解a₁，取n=n-1得另一遞推式，兩式作差后可以判斷數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/147151.png' />，兩邊取對(duì)數(shù)后可得到一新數(shù)列{lnb_n}，并且同時(shí)得到該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，則數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式可求；
（2）把求得的數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=a_n•lnb_n后，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和；
（3）求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，連同和T_n代入不等式，整理后求不等式左邊的最大值和右邊的最小值，利用兩邊夾的辦法求實(shí)數(shù)λ的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，對(duì)于（3）的求解運(yùn)用了數(shù)列的函數(shù)特性及基本不等式求最值，該題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，考查了學(xué)生綜合處理問題的能力和計(jì)算能力，此題算得上是難度性較強(qiáng)的題目．