Question

已知復(fù)數(shù)z₁=sin2x+λi，z2=m+(m-

3

cos2x)i(λ，m，x∈R)，且z₁=z₂．
（1）若λ=0且0＜x＜π，求x的值；
（2）設(shè)λ=f（x），求f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由復(fù)數(shù)相等的充要條件得到關(guān)于X的三角函數(shù)形式，根據(jù)所給的自變量的取值范圍，得到結(jié)果．
（2）整理出關(guān)于X的三角函數(shù)形式，后面的問題就變成三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的運(yùn)算，求周期和單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上，題目做到這里，它可以解決所有的三角函數(shù)性質(zhì)問題．

解答：解：（1）∵Z₁=Z₂
∴sin2x=m，λ=m-

3

cos2x
∴λ=sin2x-

3

cos2x
λ=0，
∴sin2x-

3

cos2x=0，
∴tan2x=

3

∵0＜x＜π
∴x=

π

6

，x=

2π

3

（2）∵λ=f(x)=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）
∴函數(shù)的最小正周期是π
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）
得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，(k∈Z)
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

] (k∈Z)．（K∈Z）

點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)單調(diào)性運(yùn)算時(shí)，要把三角函數(shù)經(jīng)過恒等變形得到可以求解有關(guān)性質(zhì)的形式，這兩者結(jié)合同三角函數(shù)與向量結(jié)合一樣．