Question

17．已知P為拋物線y²=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線l₁：x=-1，l₂：x+y+3=0，則P到直線l₁，l₂的距離之和的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分別為M，N．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，求|PM|+|PN|轉(zhuǎn)化為求|PM|+|PF|，當(dāng)三點(diǎn)M，P，F(xiàn)共線時(shí)，|PM|+|PF|取得最小值．利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．

解答 解：過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分別為M，N．
拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），l₂：x+1=0是拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程．
由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PF|，當(dāng)三點(diǎn)M，P，F(xiàn)共線時(shí)，|PM|+|PF|取得最小值．
故小值為點(diǎn)F到其最到直線l₁的距離，∴|FM|=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、三點(diǎn)共線、點(diǎn)到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．