Question

下列圖象中，有一個是函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2+(a2-1)x+1（a∈R且a≠0）的導函數(shù)f′（x）的圖象，則f（-1）的值為

-

1

3

．

Answer 1

分析：利用積的導數(shù)的運算法則求函數(shù)的導數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行判斷即可．

解答：解：因為f(x)=

1

3

x3+ax2+(a2-1)x+1（a∈R且a≠0），
所以f'（x）=x²+2ax+（a²-1）=（x+a-1）（x+a+1），則對應二次函數(shù)的圖象開口向上，對應方程的兩個根為1-a和-1-a．
所以不是第二個圖象．
因為a≠0，所以f'（x）=x²+2ax+（a²-1）不是偶函數(shù)，所以圖象不關于y軸對稱，
所以不是第一個圖象，所以第三個是導函數(shù)f′（x）的圖象．
由圖象可知，導函數(shù)f′（x）的圖象過原點，所以f'（0）=a²-1=0，
解得a=1或a=-1，
當a=1時，對應方程的兩個根分別為0，-2，不滿足方程第二個根為正，所以不成立舍去．
當a=-1時，對應方程的兩個根分別為0，2，滿足方程第二個根為正，所以成立．
此時f(x)=

1

3

x3-x2+1，所以f(-1)=-

1

3

-1+1=-

1

3

．
故答案為：-

1

3

．

點評：本題主要考查導數(shù)的基本運算，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強．考查學生分析問題的能力．