Question

【題目】已知圓與軸相切于點(diǎn)（0，3），圓心在經(jīng)過點(diǎn)（2，1）與點(diǎn)（﹣2，﹣3）的直線上．

（1）求圓的方程；

（2）圓與圓：相交于M、N兩點(diǎn)，求兩圓的公共弦MN的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出過點(diǎn)（2,1）與點(diǎn)（﹣2,﹣3）的直線的方程，又由條件得到圓心在直線y=3上，解方程組可得圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓的半徑，于是可得圓的方程；（2）將圓的方程化為一般式，與圓的方程作差后可得兩圓公共弦所在直線的方程，然后求出圓心到公共弦的距離，進(jìn)而可得公共弦的長．

（1）經(jīng)過點(diǎn)（2，1）與點(diǎn)（﹣2，﹣3）的直線方程為，

即y=x﹣1．

由題意可得，圓心在直線y=3上，

由，解得圓心坐標(biāo)為（4，3），

故圓C1的半徑為4．

則圓C1的方程為（x﹣4）2+（y﹣3）2=16；

（2）∵圓C1的方程為（x﹣4）2+（y﹣3）2=16，

即x2+y2﹣8x﹣6y+9=0，

圓C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9=0，

兩式作差可得兩圓公共弦所在直線方程為3x+4y﹣9=0．

圓C1的圓心到直線3x+4y﹣9=0的距離d=．

∴兩圓的公共弦MN的長為．