Question

奇函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，則x²+y²的取值范圍是（ ）
A．（4，6）
B．（16，36）
C．（0，16）
D．（16，25）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱．推斷出函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)及f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，可知x²-6x＜-y²+8y-24，化簡得（x-3）²+（y-4）²＜1，求x²+y²的范圍實(shí)際是求點(diǎn)（3，4）為圓心，以1為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，進(jìn)而得到答案．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱．
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0
∴f（x²-6x）＜-f（y²-8y+24）=f（-y²+8y-24）
∵函數(shù)f（x）為增函數(shù)
∴x²-6x＜-y²+8y-24
即：（x-3）²+（y-4）²＜1
x²+y²的范圍則為以點(diǎn)（3，4）為圓心，以1為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離
∴16＜x²+y²＜36
故答案為：（16，36）
故選B．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用．把x²+y²轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和代數(shù)式的幾何意義是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．．