Question

已知函數(shù)f(x)=

3x-1

3x+1

．
（1）證明f（x）為奇函數(shù)；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

證明：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
∵f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

3x+1

=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，理由如下：
在R中任取x₁＜x₂，
則3x1-3x2＜0，3x1+1＞0，3x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

3x1-1

3x1+1

-

3x2-1

3x2+1

=（1-

2

3x1+1

）-（1-

2

3x2+1

）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增
（3）∵f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

∵3^x＞0，
∴3^x+1＞1，
∴0＜

2

3x+1

＜2
∴-2＜-

2

3x+1

＜0
∴-1＜1-

2

3x+1

＜1
故f（x）的值域?yàn)椋?1，1）