Question

（本小題滿分14分）數列中，若存在常數，均有，稱數列是有界數列；把叫數列的前項鄰差和，數列叫數列的鄰差和數列。

（1）若數列滿足，，均有恒成立，試證明：是有界數列；

（2）試判斷公比為的正項等比數列的鄰差和數列是否為有界數列，證明你的結論；

（3）已知數列、的鄰差和與均為有界數列，試證明數列的鄰差和數列也是有界數列。

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：（1）式子可化為

                ………………………   1分

或                   ………………………   2分

或                     ………………………   3分

綜上可知，從而，故是有界數列。  ………………   4分

（2）由依題，，于是

      

當時，顯然，故為有界數列；      ………………………   5分

當時，

=

當時，，故為有界數列；   ……………   7分

當時，常數，，當時，有，此時不是有界數列；              ………………………   8分

綜上可知，當時，為有界數列，當時，不是有界數列。

………………………   9分

（III）若數列 {}是有界數列，則存在正數，對任意的有

   ，    ………………………   10分

注意到

   ………………………   11分

同理：           

記，

  …………………   12分

因此

        

故數列的鄰差和數列也是有界數列。         ………………………   14分