已知：二次函數(shù)f（x）=ax2+bx的圖象過點(diǎn)（-4n，0），且f'（0）=2n（n∈N*）．
（1）求：f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{an}滿足=f'（），且a1=4，求：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）對于（2）中的數(shù)列{an}，求證：①＜5；②≤＜2．
【答案】分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a，b的方程，求出a，b，即可得到f（x）的解析式；
（2）先根據(jù)=f'（）得到，再由疊加法即可求：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）①根據(jù)＜，再代入即可得到證明；
②先根據(jù)=-可得左邊成立；再對的和進(jìn)行放縮即可得到右邊．
解答：解：（1）由f′（x）=2ax+b，∴ 解得，即f（x）=x2+2nx；
（2）∵，
∴，由疊加得=n2-n，
∴an=；
（3）①
＜  （k≥2）
當(dāng)n≥2時(shí)，4+[（1-）+（-）+…+（）]=5-＜5．
②∵=-＞0，
∴==，
=+…+=2-＜2，
即≤＜2．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列和函數(shù)的綜合以及不等式的證明．在證明不等式涉及到范圍問題時(shí)，一般采用放縮法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c滿足：①對于任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥x，且當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f(x)≤
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(x+2)2恒成立，②f（-2）=0
（1）求證：f（2）=2
（2）求f（x）的解析式．
（3）若g（x）=x+m，對于任意x∈[-2，2]，存在x0∈[-2，2]，使得f（x）=g（x0）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知某二次函數(shù)f（x）圖象過原點(diǎn)，且經(jīng)過（-1，-5）和（2，4）兩點(diǎn)，
（Ⅰ）試求f（x）函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間[3，7]上的單調(diào)性，并用單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1，其中a，b∈R，g（x）=ln（ex），且函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在x=1處取得極值．
（I）求a，b所滿足的關(guān)系；
（II）若直線l：y=kx（k∈R）與函數(shù)y=f（x）在x∈[1，2]上的圖象恒有公共點(diǎn)，求k的最小值；
（III）試判斷是否存在a∈（-2，0）∪（0，2），使得對任意的x∈[1，2]，不等式（x+a）F（x）≥0恒成立？如果存在，請求出符合條件的a的所有值；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-ax2+1有一個(gè)正的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c同時(shí)滿足條件：①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③對任意實(shí)數(shù)x，f(x)≥
1
4a
-
1
2
恒成立．
（1）求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）數(shù)列{an}，{bn}，若對任意n均存在一個(gè)函數(shù)gn（x），使得對任意的非零實(shí)數(shù)x都滿足gn（x）•f（x）+anx+bn=xn+1，（n∈N*），求：數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式．

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