Question

已知關(guān)于x的方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的兩根為x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，則z=

a+b

a-b

的取值范圍是

(-

1

3

，

1

5

)

．

Answer 1

分析：由題意可得 

f(0)＞0 f(1)＜0

，即

1+a+b＞0 4+2a+b＜0

，如圖所示，由圖可知

b

a

∈(-2，-

2

3

)，再由z=

a+b

a-b

=

1+ b a

1- b a

  在區(qū)間(-2，-

2

3

)上是增函數(shù)，求出z的范圍．

解答：解：由方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的二次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，故函數(shù)f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上．
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，則

f(0)＞0 f(1)＜0

，
即

1+a+b＞0 1+2+a+1+a+b＜0

，即

1+a+b＞0 4+2a+b＜0

，如圖所示：

∵

b

a

表示陰影區(qū)域上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，由圖可知

b

a

∈(-2，-

2

3

)，
而z=

a+b

a-b

=

1+ b a

1- b a

  在區(qū)間(-2，-

2

3

)上是增函數(shù)，
而當(dāng)

b

a

=-2時(shí)，z=-

1

3

，當(dāng)

b

a

=-

2

3

 時(shí)，z=

1

5

，
則z=

a+b

a-b

的取值范圍是 (-

1

3

，

1

5

)，
故答案：(-

1

3

，

1

5

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題