Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定義域和值域均為[m，n]，則a的取值范圍是________．

Answer 1

（1，）
分析：函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定義域和值域均為[m，n]，問題轉(zhuǎn)化為y=f（x）的圖象與y=x的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)，求最大值，然后求解即可得出符合題意的a的取值范圍．
解答：f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定義域和值域均為[m，n]，
那么y=f（x）與y=x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
即方程f（x）-x=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
設(shè)g（x）=f（x）-x=a^x-x
則g'（x）=a^xlna-1
令g'（x）=0 得 a^x=＞0，說明a＞1
所以x=
所以當(dāng)x=-log_a（lna）時(shí)，g（x）取得最小值
由＜0 得
1＜a＜
故答案為：（1，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域、閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，屬于難題．利用構(gòu)造，研究一個(gè)新的函數(shù)零點(diǎn)的問題，此法是高中數(shù)學(xué)解題的一大難點(diǎn)．