Question

如圖，平行四邊形AMBN的周長(zhǎng)為8，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為．
（Ⅰ）求點(diǎn)A，B所在的曲線(xiàn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)C（-2，0）的直線(xiàn)l與（Ⅰ）中曲線(xiàn)交于點(diǎn)D，與Y軸交于點(diǎn)E，且l∥OA，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由平行四邊形對(duì)邊相等，知|AM|+|AN|=|BM|+|BN|=4，由橢圓的定義，知點(diǎn)A，B所在的曲線(xiàn)是橢圓；且2a=4，c=，所以橢圓的方程可求；
（Ⅱ）如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)l方程為：y=k（x+2），與橢圓方程組成方程組，得交點(diǎn)D的坐標(biāo)，直線(xiàn)l與Y軸相交，得點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得向量，的坐標(biāo)表示；又OA∥l，可設(shè)OA的方程為：y=kx，與橢圓方程組成方程組，得交點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得的坐標(biāo)表示，代入計(jì)算即可．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛MBN是平行四邊形，周長(zhǎng)為8，
所以?xún)牲c(diǎn)A，B到M，N的距離之和均為4，可知所求曲線(xiàn)為橢圓；
由橢圓定義可知，，b=1；
所求曲線(xiàn)方程為：（y≠0）；
（Ⅱ）由已知，直線(xiàn)l的斜率存在，又直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)C（-2，0），
設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=k（x+2），
代入曲線(xiàn)方程，并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0；
點(diǎn)C（-2，0）在曲線(xiàn)上，所以D（，）；
E（0，2k），=，；
因?yàn)镺A∥l，所以設(shè)OA的方程為：y=kx；
代入曲線(xiàn)方程，并整理，得：（1+4k²）x²=4；
所以，；則
所以，為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義，直線(xiàn)與橢圓知識(shí)的綜合應(yīng)用，以及向量在解析幾何中的應(yīng)用；借助于圖形能幫助我們解決問(wèn)題．