Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

（ω∈R，x∈R）的最小正周期為π，且當(dāng)x=

π

3

時(shí)，該函數(shù)取最大值．
（1）求f（x）解析式；
（2）作出f（x）在[0，π）范圍內(nèi)的大致圖象．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)周期求出ω的值；求出函數(shù)的解析式．
（2）由x∈[0，π]，可得 2x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]，列表作圖即得所求．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

=

3

2

sin2ω x+1-

cos2ωx

2

 
=1-sin （2ωx+

π

6

）．
由于它的最小正周期為π，故

2π

ω

=π，∴ω=1．
故f（x）═1-sin（2x+

π

6

）．
（2）∵x∈[0，π]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]．列表如下：

2x+ π 6	π 6	π 2	π	3π 2	2π	13π 6
x	0	π 6	5π 12	8π 12	11π 12	π
sinx	1 2	1	0	-1	0	1 2
f（x）	1 2	0	1	2	1	1 2

如圖：

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．