（2012•湖南模擬）某商場根據(jù)調(diào)查，估計家電商品從年初（1月）開始的x個月內(nèi)累計的需求量p（x）（百件）為p(x)=
x
2
(39x-2x2+41)(1≤x≤12且x∈N*)
（1）求第x個月的需求量f（x）的表達式．
（2）若第x個月的消售量滿足g(x)=
f(x)-21x，(1≤x＜7，x∈N*)
x2
ex
(
1
3
x2-10x+96)，(7≤x≤12，x∈N*)
（單位：百件），每件利潤q(x)=
100ex-6
x
元，求該商場銷售該商品，求第幾個月的月利潤達到最大值？最大是多少？（e6取值為403）
分析：（1）利用f（x）=p（x）-p（x-1），可得第x個月的需求量f（x）的表達式．
（2）分類討論，求得函數(shù)的最值，比較即可得到結論．
解答：解：（1）x≥2時，f（x）=p（x）-p（x-1）=-3x2+42x；當x=1時，p（x）=39，也滿足
∴f（x）=-3x2+42x，（1≤x≤12，x∈N*）
（2）設該商場第x個月的月利潤為ω（x）元，則
1°當1≤x＜7，x∈N*時，ω(x)=(-3x2+42x-21x)•
10000ex-6
x
=30000(7-x)ex-6（5分）
ω'（x）=30000（6-x）ex-6，令ω'（x）=0，∴x=6
∴ω（x）在[1，6]上單調(diào)遞增，在[6，7]上單調(diào)遞減
∴ω（x）max=ω（6）=30000（8分）
2°當7≤x≤12，x∈N*時，ω(x)=
x2
ex
(
1
3
x2-10x+96)•
10000ex-6
x
=10000(
1
3
x3-10x2+96x)e-6
ω'（x）=10000（x-12）（x-8）e-6，
∴ω（x）在[7，8]上單調(diào)遞增，在[8，12]上單調(diào)遞減
∴ω（x）max=ω（8）＜30000（12分）
∴第6個月利潤最大，是30000元 （13分）
點評：本題考查函數(shù)模型的構建，考查導數(shù)知識的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2+x-(x+1)ln(x+1)
（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）記φ（x）=f′（x-1）-k（x-1），若函數(shù)φ（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），求證：φ′(
x1+x2
2
)＞0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）已知向量
m
=(2cos2x，
3
)，
n
=(1，sin2x)，函數(shù)f(x)=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f(C)=3，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）的導函數(shù)f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）的導函數(shù)f″（x），若在區(qū)間（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，已知f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2，若當實數(shù)m滿足|m|≤2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，則b-a的最大值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）已知函數(shù)f(x)=
-x-1(x＜-2)
x+3(-2≤x≤
1
2
)
5x+1(x＞
1
2
)
（x∈R），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命題p：關于x的不等式f（x）≥m2+2m-2對任意x∈R恒成立；命題q：函數(shù)y=（m2-1）x是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）設曲線y=xn+1（n∈N）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則x1•x2•x3•…•x2012的值為
1
2013
1
2013
．

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