Question

下列命題正確的是（　　）
①兩個(gè)奇函數(shù)的積仍是奇函數(shù)；
②兩個(gè)增函數(shù)的積仍是增函數(shù)；
③函數(shù)y=lnx對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

；
④函數(shù)y=f（x）對(duì)定義域內(nèi)任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，則函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)．

A．①②③④

B．①②③

C．②③

D．③

Answer 1

對(duì)于①，兩個(gè)奇函數(shù)的積在它們公共的定義域內(nèi)仍然是奇函數(shù)，
但是如果它們的定義域的交集是空集，則它們的積構(gòu)不成函數(shù)，
更談不到奇偶性了，
比如：f（x）=

1-x2

x

是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)
g（x）=

x2-4

x

是定義在（-∞，-2]∪[2，+∞）上的奇函數(shù)
但y=f（x）g（x）的定義域是空集，不符合奇函數(shù)的定義，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，兩個(gè)函數(shù)如果是恒為正值且為增函數(shù)，則它們積對(duì)應(yīng)的函數(shù)還是增函數(shù)，
但是如果沒(méi)有恒正的條件，積對(duì)應(yīng)的函數(shù)則未必是增函數(shù)，
比如：f（x）=x在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
g（x）=-

1

x

在區(qū)間（0，+∞）上也是增函數(shù)，
但y=f（x）g（x）=-1是常數(shù)函數(shù)，不是增函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，函數(shù)y=lnx對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），
∵f(

x1+x2

2

)=ln

x1+x2

2

，

x1+x2

2

≥

x1x2

∴根據(jù)函數(shù)y=lnx是增函數(shù)，可得f(

x1+x2

2

)≥ln

x1x2

∵

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

 (lnx1+lnx2)=

1

2

ln(x1x2) =ln

x1x2

∴f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，故③正確；
對(duì)于④，函數(shù)y=f（x）對(duì)定義域內(nèi)任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，說(shuō)明當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），
說(shuō)明函數(shù)y=f（x）在其定義域上是一個(gè)減函數(shù)，故④錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的命題只有③
故選D