已知f（x）=ln（ax+b）-x，其中a＞0，b＞0
（1）求f（x）在[0，+∝）上是減函數(shù)的充要條件；
（2）求f（x）在[0，+∝）上的最大值；
（3）解不等式in（1+
x-
1
x
）-
x-
1
x
≤ln2-1．
（1）f'（x）=
a
ax+b
-1=
a-b-ax
ax+b

充分性：因?yàn)閤≥0，a＞0，b＞0所以，當(dāng)f'（x）≤0時(shí)，a-b≤0，即a≤b
必要性：當(dāng)a≤b時(shí)，因?yàn)閍＞0，b＞0，x≥0，所以ax+b＞0，a-b-ax≤0，即f'（x）≤0
所以f（x）在[0，+∝）上是減函數(shù)的充要條件是“a≤b”
（2）由（1）知當(dāng)a≤b時(shí)f（x）在[0，+∝）上是減函數(shù)
∴f（x）的最大值為f（0）=lnb
當(dāng)b＜a時(shí)，因?yàn)閒'（x）=
a-b-ax
ax+b

∴當(dāng)0≤x＜
a-b
a
時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞
a-b
a
時(shí)，f'（x）＜0
即f（x）在[0，
a-b
a
]是增函數(shù)，f（x）在[
a-b
a
，+∞]是減函數(shù)
則當(dāng)x=
a-b
a
時(shí)取得最大值為lna-
a-b
a

綜上，[f（x）max]=
lnb   b≥a
lna-
a-b
a
b＜a
（3）在（1）中取a=b=1，得f（x）=ln（x+1）-x
由（1）知f（x）在[0，+∝）上是減函數(shù)
∵ln（1+
x-
1
x
）-
x-
1
x
≤ln2-1即f（
x-
1
x
）≤f（1）
∴
x-
1
x
≥1解得
1-
5
2
≤x＜0或x≥
1+
5
2

∴不等式的解集為[
1-
5
2
，0）∪[
1+
5
2
，+∞
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（1+x）-
x1+ax
（a＞0）．
（I） 若f（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（II） 若函數(shù)f（x）在x=O處取得極小值，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，且對任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判斷f（x）是否是“凹函數(shù)”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）對于（I）中的函數(shù)f（x）有下列性質(zhì)：“若x∈[a，b]，則存在x0（a，b）使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′（x0）”成立．利用這個(gè)性質(zhì)證明x0唯一；
（Ⅲ）設(shè)A、B、C是函數(shù)f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）圖象上三個(gè)不同的點(diǎn)，求證：△ABC是鈍角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若g(x)=
1
4
x2-x+f(x)，求g（x）在[0，2]上的最大值與最小值；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，求證
1
1+x
＜f(
1
x
)＜
1
x
；
（3）當(dāng)n∈N+且n≥2時(shí)，求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜f(n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在定義域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（3）求證：
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（1+x）-
14
x2 是定義在[0，2]上的函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若f（x）≥c對定義域內(nèi)的x恒成立，求c的取值范圍．．

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