Question

如圖4，已知平面是圓柱的軸截面（經(jīng)過(guò)圓柱的軸的截面），BC是圓柱底面的直徑，O為底面圓心，E為母線的中點(diǎn)，已知

（I））求證：⊥平面；

（II）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（I））見解析（II）（Ⅲ）8

【解析】解：依題意可知， 平面ABC，∠＝90°，

方法1：空間向量法 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915373073828880/SYS201211191538083007112313_DA.files/image006.png">＝4，

則

（I），

，∴，∴

，      ∴，∴

∵  平面 ∴ ⊥平面         （5分）

（II） 平面AEO的法向量為，設(shè)平面 B₁AE的法向量為

， 即       

令x＝2，則

∴

∴二面角B₁—AE—F的余弦值為                          （10分）

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915373073828880/SYS201211191538083007112313_DA.files/image025.png">，∴， ∴

∵，

∴            (14 分)

方法2：

依題意可知， 平面ABC，∠＝90°，，∴

（I）∵，O為底面圓心，∴BC⊥AO，又∵B₁B⊥平面ABC，可證B₁O⊥AO， 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915373073828880/SYS201211191538083007112313_DA.files/image034.png">＝，則,∴

∴B₁O⊥EO，∴⊥平面；                                     （5分）

（II）過(guò)O做OM⊥AE于點(diǎn)M，連接B₁M，

∵B₁O⊥平面AEO，可證B₁M⊥AE，

∴∠B₁MO為二面角B₁—AE—O的平面角，

C₁C⊥平面ABC，AO⊥OC，可證EO⊥AO，

在Rt△AEO中，可求， 

在Rt△B₁OM中，∠B₁OM＝90°，∴

∴二面角B₁—AE—O的余弦值為                  （10分）

（Ⅲ）因?yàn)锳B=AC，O為BC的中點(diǎn)，所以

  又平面平面，且平面平面，

所以平面,  故是三棱錐的高

∴       (14分)