四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

（1）求證：PA⊥底面ABCD；

（2）求四棱錐P—ABCD的體積；

（3）對于向量a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，c={x3，y3，z3}，定義一種運(yùn)算：

（a×b）·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，試計(jì)算（×）·的絕對值的值；說明其與四棱錐P—ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算（×）·的絕對值的幾何意義.

 

答案：
解析：

（1）證明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.

又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.

∵AB、AD是底面ABCD上的兩條相交直線，∴AP⊥底面ABCD.

（2）解：設(shè)與的夾角為θ，則

cosθ=

V=||·||·sinθ·||=

（3）解：|（×）·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱錐P—ABCD體積的3倍.

猜測：|（×）·|在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積（或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積）.

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PD、PC、BC的中點(diǎn)．
（I）求證：PA∥平面EFG；
（II）求平面EFG⊥平面PAD；
（III）若M是線段CD上一點(diǎn)，求三棱錐M-EFG的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•上海）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，已知AB=2，AD=2
2
，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面積；
（2）異面直線BC與AE所成的角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=
12
，AD=1．
（I）求證：CD⊥平面PAC
（II）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，M為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BC∥平面PMD；
（2）求證：PC⊥BC；
（3）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面MDB；
（2）求證：AD⊥平面PQB；
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，且M為PC的中點(diǎn)，求四棱錐M-ABCD的體積．

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