已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1=0，a2=3，an+1an=（an-1+2）（an-2+2），n=3，4，5，……，
（1）求a3；
（2）證明an=an-2+2，n=3，4，5，……；
（3）求{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn。
解：（1）由題設(shè)得，且均為非負(fù)整數(shù)，所以a3的可能的值為1、2、5、10，
若a3=1，則a4=10，，與題設(shè)矛盾；
若a3=5，則a4=2，，與題設(shè)矛盾；
若a3=10，則a4=1，，與題設(shè)矛盾；
所以a3=2；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)，等式成立；
②假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，
由題設(shè)，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111202/201112021451255461018.gif">，
所以，
也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立。
根據(jù)①②，對(duì)于所有n≥3，有。
（3）由及
得……，
即……，
所以。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1=0，a2=3，an+1an=（an-1+2）（an-2+2），n=3，4，5，…，
（1）求a3；
（2）證明an=an-2+2，n=3，4，5，…；
（3）求{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1=0，a2=3，an=an-2+2，(n∈N*，n≥3)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
an=n+(-1)n
an=n+(-1)n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•北京）已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an+1，an+2…的最小值記為Bn，dn=An-Bn．
（Ⅰ）若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即對(duì)任意n∈N*，an+4=an），寫出d1，d2，d3，d4的值；
（Ⅱ）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列；
（Ⅲ）證明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），則{an}的項(xiàng)只能是1或者2，且有無窮多項(xiàng)為1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（北京卷解析版） 題型：解答題

已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)，…的最小值記為Bn，dn=An－Bn.

(I)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意n∈N*，)，寫出d1，d2，d3，d4的值；

(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列；

(III)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，則{an}的項(xiàng)只能是1或2，且有無窮多項(xiàng)為1.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列,滿足a1=0,a2=3,an+1·an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,

…,用反證法證明a3=2.

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