Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），a＞1，對于定義域內(nèi)的x₁，x₂有0＜x₁＜x₂＜1，給出下列結(jié)論：
①（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0；
②x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）；
③f（x₂）-f（x₁）＞x₁-x₂；
④

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

）．
其中正確結(jié)論的序號是（　�。�

• A、①②
• B、①③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：畫出函數(shù)的圖象，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷①的對錯(cuò)；
根據(jù)

f(x1)

x1

與

f(x2)

x2

（圖象上任意兩點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率）的大小判斷②的正誤；
再根據(jù)函數(shù)圖象是凸增的，我們可判斷③的真假．

解答： 解：由已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），a＞1，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖，
對于定義域內(nèi)的x₁，x₂有0＜x₁＜x₂＜1，
可得x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0；顯然①不正確；
由x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）
得

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，
即表示兩點(diǎn)（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂））與原點(diǎn)連線的斜率的大小，
可以看出結(jié)論②正確；
結(jié)合函數(shù)圖象，
由f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁，
可得

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞1，
即兩點(diǎn)（x₁，f（x₁））與（x₂，f（x₂））連線的斜率大于1，
顯然③不正確；
容易判斷④的結(jié)論是正確的．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的圖象和直線的斜率，解答的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖象分析結(jié)論中式子的幾何意義，然后進(jìn)行判斷．