Question

如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′長為1，E是BB′的中點，F(xiàn)是B′C′的中點，G是AB的中點
（1）求證：D′F⊥CG；
（2）求證：D′F∥平面A′DE．

Answer 1

證明：（1）取A'B'的中點H，連接C'H，交D'F于點P，則C'H∥CG
在正方形A'B'C'D'中，RT△D'C'F≌RT△C'B'H
∴∠C'D'F=∠BC'H
又∠C'D'F+∠C'FD'=90°
∴∠B'C'H+∠C'FD'=90°
∴∠C'PF=90°
∴D'F⊥C'H
∴D'F⊥CG
（2）取A'D的中點O，連接OE，取A'D'的中點O'，連接OO'，O'B'，則O'B'∥D'F
則OO'B'E，
∴四邊形OO'B'E是平行四邊形
∴O'B'∥OE
又O'B'∥D'F
∴D'F∥OE
又D'F?面A'DE，OE?面A'DE
∴D'F∥面A'DE
分析：（1）在上底面中構造直角三角形，用三角形全等的知識證明線線垂直
（2）先證明線線平行，從而用線面垂直的判定定理證明線面平行
點評：本題考查直線與直線，直線與平面的位置關系，要求熟練應用線面平行的判定定理，以及線線平行垂直的證明方法．屬簡單題