已知f（x）=
1
3
ax3-2x2+cx的導(dǎo)函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞），是
a
c2+4
+
c
a2+4
的最小值為（　�。�
A．0B．
1
4
C．
1
2
D．1
f（x）=
1
3
ax3-2x2+cx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ax2-4x+c
∵導(dǎo)函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞），
∴
a＞0
△=16-4ac=0

解得：
a＞0
ac=4

∵
a
c2+4
+
c
a2+4
=
a3+c3 +4(a+c)
(c2+4)(a2+4)
=
a3+c3 +4(a+c)
a2c2+4(a2+c2)+16
=
(a+c)[(a+c)2-3ac+4]
16+4(a+c)2-8ac+16

=
(a+c)[(a+c)2-3ac+4]
4(a+c)2
=
(a+c)3-8(a+c)
4(a+c)2
=
a+c
4
-
2
a+c

設(shè)t=a+c≥2
ac
=4，∴t∈[4，+∞）
∴
a
c2+4
+
c
a2+4
=
t
4
-
2
t

設(shè)g（t）=
t
4
-
2
t
  t∈[4，+∞）
g′（t）=
1
4
+
2
t2
＞0，
∴g（t）在 t∈[4，+∞）為增函數(shù)
∴g（t）∈[
1
2
，+∞）
∴
a
c2+4
+
c
a2+4
的最小值為
1
2

故選C
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是R上增函數(shù)，若f（a）＞f（1-2a），則a的取值范圍是
a＞
1
3
a＞
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2處取得極值．
（Ⅰ）若c=-a2，且|x1-x2|=2，求b的最大值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x）+x，若0＜x1＜x2＜
13a
，且x∈（0，x1），證明：x＜g（x）＜x1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年大連市高二六月月考理科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d (b,c,d∈R且都為常數(shù))的導(dǎo)函數(shù)f¢(x)=3x2+4x且f(1)=7，設(shè)F(x)=f(x)-ax2

(1)當(dāng)a<2時(shí)，求F(x)的極小值；

(2)若對任意x∈[0,+∞)都有F(x)≥0成立，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下比較a2-13a+39與的大小.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(理)已知函數(shù)f(x)=(m∈R,e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)當(dāng)x＞0時(shí),設(shè)f(x)的反函數(shù)為f-1(x),對0＜p＜q,試比較f(q-p)、f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大小.

(文)已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d∈R且都為常數(shù))的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=3x2+4x,且f(1)=7,設(shè)F(x)=f(x)-ax2(a∈R).

(1)當(dāng)a＜2時(shí),求F(x)的極小值;

(2)若對任意的x∈［0,+∞),都有F(x)≥0成立,求a的取值范圍并證明不等式a2-13a+39≥.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(理)已知函數(shù)f(x)=(m∈R,e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)當(dāng)x＞0時(shí),設(shè)f(x)的反函數(shù)為f-1(x),對0＜p＜q,試比較f(q-p)、f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大小.

(文)已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d∈R且都為常數(shù))的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=3x2+4x,且f(1)=7,設(shè)F(x)=f(x)-ax2(a∈R).

(1)當(dāng)a＜2時(shí),求F(x)的極小值;

(2)若對任意的x∈［0,+∞),都有F(x)≥0成立,求a的取值范圍并證明不等式a2-13a+39≥.

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