Question

15．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，平面PBC⊥平面ABCD．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）在側棱PA上是否存在一點M，使得DM∥平面PCB？若存在，試給出證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點E，連結CE，推導出四邊形AECD是正方形，從而CE⊥AB，由勾股定理得AC⊥CB，從而AC⊥平面PBC，由此能證明AC⊥PB．
（2）當M為側棱PA的中點時，取PB的中點N，連接DM，MN，CN．推導出四邊形MNCD為平行四邊形，從而DM∥CN，由此能證明DM∥平面PCB．

解答 證明：（1）取AB的中點E，連結CE，
∵AB∥CD，$DC=\frac{1}{2}AB$，
∴DC∥AE，DC=AE，
∴四邊形AECD是平行四邊形．
又∵∠ADC=90°，∴四邊形AECD是正方形，
∴CE⊥AB．
∴△CAB為等腰三角形，且$CA=CB=2，AB=2\sqrt{2}$，
∴AC²+CB²=AB²，∴AC⊥CB，…（3分）
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AC⊥CB，
AC?平面ABCD．
∴AC⊥平面PBC．
又∵PB?平面PBC，∴AC⊥PB．…（6分）
解：（2）當M為側棱PA的中點時，DM∥平面PCB．…（7分）
證明：取PB的中點N，連接DM，MN，CN．
在△PAB中，MN為中位線，∴MN∥AB，$MN=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$．
由已知AB∥CD，所以MN∥CD．
又$MN=CD=\sqrt{2}$，∴四邊形MNCD為平行四邊形．∴DM∥CN．…（10分）
又DM?平面PCB，CN?平面PCB，∴DM∥平面PCB．…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查滿足線面平行的點的位置的確定與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．