Question

（2010•上海模擬）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PF⊥平面ABCD，垂足F在AD上，且AF=

1

3

FD，FB⊥FC，FB=FC=2，E是BC的中點，四面體P-BCF的體積為

8

3

．
（1）求異面直線EF和PC所成的角；
（2）求點D到平面PBF的距離．

Answer 1

分析：解法一：向量法．首先利用PF⊥平面ABCD的特點，以F點為原點，建立適當的空間直角坐標系，利用向量來求異面直線的夾角、點到面的距離．其中該異面直線的夾角可以轉換為

FE

與

PC

的夾角來求，點D到面PBF的距離是d=|

FD

 •

n0

|
解法二：定義法．利用平行關系作出異面直線EF與PC所成的角，利用幾何關系找出點D到PBF的距離．

解答：解：（解法一）
（1）由已知VP-BCF= 

1

3

S△BCF•PF=

1

3

•

1

2

• BF•CF•PF=

8

3

∴PF=4
如圖所示以F為原點以

FB

，

FC

，

FP

所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系o-xyz
則B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4），由E是BC的中點，故E（1，1，0）
∴

FE

=(1，1，0)，

PC

=(0，2，-4)
∴cos＜

PE

，

PC

＞=

PE • PC

| PE || PC |

=

2

2 × 20

=

10

10

∴異面直線EF和PC所成的角arccos

10

10

（2）平面PBF的單位法向量

n0

=（0，1，0）
∵

FD

=

3

4

BC

= (-

3

2

，

3

2

，0)
∴點D到面PBF的距離是d=|

FD

 •

n0

|=

3

2

（解法二）
（1）由已知VP-BCF= 

1

3

S△BCF•PF=

1

3

•

1

2

• BF•CF•PF=

8

3

∴PF=4
在平面ABCD內，過C做CH∥EF，交AD于H，連接PH
則∠PCH（或其補角）就是異面直線EF與PC所成的角
在△PCH中，CH=

2

，PC=

20

，PH=

18

由余弦定理可得cos∠PCH=

10

10

∴異面直線EF和PC所成的角為arccos

10

10

（2）∵PF⊥平面ABCD，PF?平面PBA
∴平面PBF⊥平面ABCD
在平面ABCD內過D作DK⊥BF，交BF延長線與K，則DK⊥平面PBF
∴DK的長就是點D到平面PBF的距離
∵BC=2

2

∴DF=

3

4

AD=

3

4

BC=

3

2

2

∵在△DFK中DK=DFsin45°=

3

2

∴點D到平面PBF的距離為

3

2

點評：此題考查了運用向量法或定義法來求異面直線的夾角和點到面的距離，屬必考題，較難．解題的關鍵是在運用向量法時應注意異面直線的夾角的轉化，以及點到面的距離的向量公式！