Question

在二項(xiàng)式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：二項(xiàng)展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，

n

2

，

1

8

n（n-1）成等差數(shù)列，可求得n，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求得展開式中的有理項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：∵二項(xiàng)展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，

n

2

，

1

8

n（n-1）…2分
∴2•

n

2

=1+

1

8

n（n-1），
解得n=8或n=1（不合題意，舍去）…4分
∴T_r+1=

C

r 8

•x

8-r

2

•(

1

2

)r•x-

r

4

=

C

r 8

•2^-r•x4-

3r

4

，
當(dāng)4-

3r

4

∈Z時(shí)，T_r+1為有理項(xiàng)，
∴0≤k≤8且k∈Z，
∴k=0，4，8符合要求…8分
故有理項(xiàng)有3項(xiàng)，分別是：T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2，
∵n=8，
∴展開式中共9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的系數(shù)最大，T₅=

35

8

x…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．