Question

平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=

1

2

AE=2，O、M分別為CE、AB的中點(diǎn)．
（I）求證：OD∥平面ABC；
（II）能否在EM上找一點(diǎn)N，使得ON⊥平面ABDE？若能，請(qǐng)指出點(diǎn)N的位置，并加以證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

證明：（I）取AC中點(diǎn)F，連接OF、FB．
∵F是AC的中點(diǎn)，O為CE的中點(diǎn)，
∴OF∥EA，且OF=

1

2

EA，
又BD∥AE，且BD=

1

2

AE，
∴OF∥DB，OF=DB，
∴四邊形BDOF是平行四邊形．
∴OD∥FB．
又∵FB?平面ABC，OD?平面ABC，
∴OD∥面ABC．
（II）當(dāng)N是EM中點(diǎn)時(shí)，ON⊥平面ABDE．


證明：取EM中點(diǎn)N，連接ON、CM，
∵AC=BC，M為AB中點(diǎn)，
∴CM⊥AB，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，CM?面ABC，
∴CM⊥面ABDE，
∵N是EM中點(diǎn)，O為CE中點(diǎn)，
∴ON∥CM，
∴ON⊥平面ABDE．