Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+a_n+1=4n，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和；數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的積為T_n，且Tn=2n(1-n)
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式
（2）是否存在常數(shù)a，使得{S_n-a}成等差數(shù)列？若存在，求出a，若不存在，說明理由．
（3）求數(shù)列{

1

Sn+1-1

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）由題知a_n+a_n+1=4n，可得a_n+1+a_n+2=4（n+1），兩式相減即得a_n+2-a_n=4，即數(shù)列{a_n}隔項(xiàng)成等差數(shù)列，分類可求；（2）先求得Sn=

n(a1+an)

2

=n2，假設(shè)存在a，由此展開退理得矛盾；（3）由（2）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消法可求和．

解答：解：（1）由題知a_n+a_n+1=4n，可得a_n+1+a_n+2=4（n+1），兩式相減即得
a_n+2-a_n=4，即數(shù)列{a_n}隔項(xiàng)成等差數(shù)列
又a₁=1，代入式子可得a₂=3，
∴n為奇數(shù)時(shí)，an=a1+4(

n+1

2

-1)=2n-1；…（2分）
n為偶數(shù)時(shí)，an=a2+4(

n

2

-1)=2n-1．…（3分）
∴n∈N₊，a_n=2n-1…（4分）
又當(dāng)n=1時(shí) b1=T1=20=1，
n≥2時(shí)bn=

Tn

Tn-1

=22(1-n)=

1

4n-1

∴n∈N₊，bn=

1

4n-1

…（6分）
（2）由（1）知a_n=2n-1，數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列
∴Sn=

n(a1+an)

2

=n2
∴Sn-a=n2-a，Sn+1-a=(n+1)2-a，Sn+2-a=(n+2)2-a
若存在常數(shù)a，使得{S_n-a}成等差數(shù)列，則（S_n-a）+（S_n+2-a）=2（S_n+1-a）在n∈N₊時(shí)恒成立
即n²-a+（n+2）²-a=2（（n+1）²-a）化簡(jiǎn)得：4=2，矛盾
故常數(shù)a不存在     …（10分）
（3）由（2）知

1

Sn+1-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+…+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題為數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及裂項(xiàng)相消法求和以及分類討論的思想，屬中檔題．