Question

若對所有的實數x及1≤t≤

2

均有（x+t²+2）²+（x+at）²＞

1

8

成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：轉化思想,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：令函數f（x）=（x+t²+2）²+（x+at）²，利用導數求其最小值，得到2(

t2

2

-

at

2

+1)2＞

1

8

，進一步得到
對1≤t≤

2

，有t2-at+2＜-

1

2

或t2-at+2＞

1

2

恒成立，然后分離參數后利用函數的單調性及基本不等式求得最值，最后得到答案．

解答： 解：令f（x）=（x+t²+2）²+（x+at）²，
則f′（x）=2（x+t²+2）+2（x+at）=4x+2t²+4+2at，
當x＜-

t2

2

-

at

2

-1時，f′（x）＜0，
當x＞-

t2

2

-

at

2

-1時，f′（x）＞0，
∴f(x)min=f(-

t2

2

-

at

2

-1)=2(

t2

2

-

at

2

+1)2．
問題轉化為對1≤t≤

2

，有2(

t2

2

-

at

2

+1)2＞

1

8

．
即(t2-at+2)2＞

1

4

．
也就是對1≤t≤

2

，有t2-at+2＜-

1

2

或t2-at+2＞

1

2

恒成立．
由t2-at+2＜-

1

2

，得a＞t+

7

2t

（1≤t≤

2

），即a＞

9

2

；
由t2-at+2＞

1

2

，得a＜t+

3

2t

（1≤t≤

2

），即a＜

6

．
綜上，實數a的范圍是a＜

6

或a＞

9

2

．

點評：本題考查了恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用導數求函數的最值，是難題．