Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-n²+3n-2（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+2n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

Sn+n2

an+2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項和B_n；
（3）若c_n=

1

an-2

，數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，求證T_n＜

3

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得a_n=2a_n-2a_n-1-2n+4，從而a_n+2n+2[a_n-1+2（n-1）]，又當n=1時，a₁=0，由此能證明{a_n+2n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而求出an=2n-2n．
（Ⅱ）由bn=2-

n+2

2n

，利用分組求和法和錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和B_n．
（Ⅲ）當n=1時，T₁=

1

2

＜

3

4

，當n≥2時，2ⁿ⁺²-2（n+2）＞2[2ⁿ⁺¹-2（n+1）]＞…＞2ⁿ（2²-4）=0，由此能證明T_n＜

3

4

．．

解答： （Ⅰ）證明：∵S_n=2a_n-n²+3n-2．
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-（n-1）²+3（n-1）-2，
∴a_n=2a_n-2a_n-1-2n+4，
∴a_n+2n+2[a_n-1+2（n-1）]，
又當n=1時，a₁=0，
∴{a_n+2n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n-2n．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得Sn=2n+1-n²-n-2，
bn=2-

n+2

2n

，
∴Bn=2n-(

3

2

+

4

22

+…+

n+2

2n

)，
設(shè)D_n=

3

2

+

4

22

+…+

n+2

2n

，①
則2D_n=3+

4

2

+…+

n+1

2n-2

+

n+2

2n-1

，②
②-①，得D_n=3+

1

2

+…+

1

2n-1

-

n+2

2n

=4-

1

2n-1

-

n+2

2n

=4-

n+4

2n

，
∴B_n=2n-4+

n+4

2n

．
（Ⅲ）證明：當n=1時，T₁=

1

2

＜

3

4

，
當n≥2時，∵2ⁿ⁺²-2（n+2）＞2[2ⁿ⁺¹-2（n+1）]，
∴2ⁿ⁺²-2（n+2）＞2[2ⁿ⁺¹-2（n+1）]＞…＞2ⁿ（2²-4）=0，
∴c_n=

1

2n+2-2(n+2)

＜

1

2[2n+1-2(n-1)

=

1

2

c_n-1，
又c2=

1

8

，
∴當n≥2時，cn≤(

1

2

)n-2c2=(

1

2

)n+1，
∴當n≥2時，
T_n=

1

2

+

1

8

+…+

1

2n+2-2(n+2)

≤

1

2

+

1

8

+…+

1

2n+1

=

1

2

+

1

4

-(

1

2

)n+1＜

3

4

，
∴T_n＜

3

4

．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．