Question

已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，且極大值與極小值的積為e⁵，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）首先對函數(shù)求導(dǎo)，代入所給的a=2的條件，得到曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=ex-2e，做出切線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0），（0，-2e），表示出三角形的面積．
（II）根據(jù)函數(shù)f（x）存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，得到方程x²-ax+a=0在（0，+∞）內(nèi)存在兩個(gè)不等實(shí)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出a的范圍，寫出極值，根據(jù)極值的積做出結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ），…（3分）
當(dāng)a=2時(shí)，，，f（1）=-e，
所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=ex-2e，…（5分）
切線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0），（0，-2e），…（6分）
∴所求面積為．…（7分）
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，
所以，方程x²-ax+a=0在（0，+∞）內(nèi)存在兩個(gè)不等實(shí)根，…（8分）
則…（9分）
所以a＞4．…（10分）
設(shè)x₁，x₂為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，
則x₁+x₂=a，x₁x₂=a，…（11分）
因?yàn)閒（x₁）f（x₂）=e⁵，
所以，…（12分）
即，，e^a=e⁵，
解得a=5，此時(shí)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以a=5．…（14分）
點(diǎn)評：本題看出利用導(dǎo)數(shù)求極值和極值存在的條件，本題解題的關(guān)鍵是利用極值存在的條件展開運(yùn)算，注意題目中出現(xiàn)的一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系．