Question

5．是否存在實(shí)數(shù) a，使函數(shù)f（x）=cos²x+2asinx+3a-1在閉區(qū)間上的最大值為 4，若存在，則求出對(duì)應(yīng)的 a 值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），分a≤-1時(shí)，-1＜a＜1時(shí)，a≥1時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案．

解答 解：f（x）=cos²x+2asinx+3a-1=1-sin²x+2asinx+3a-1=-sin²x+2asinx+3a=-（sinx-a）²+3a+a²，sinx∈[-1，1]，
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴f（t）=-（t-a）²+3a+a²對(duì)稱軸為t=a，
 當(dāng)a≤-1時(shí)，函數(shù)f（t）在[-1，1]上是減函數(shù)，∴f（x）_max=f（-1）=a-1=4，解得a=5，舍去
 當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（t）在[-1，a]上為增函數(shù)，在（a，1）上為減函數(shù)，∴f（x）_max=f（a）=3a+a²=4，解得a=1或a=-4，舍去，
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（t）在[-1，1]上是增函數(shù)，∴f（x）_max=f（1）=5a-1=4，解得a=1，
綜上所述，存在實(shí)數(shù)a=1，使函數(shù)f（x）=cos²x+2asinx+3a-1在閉區(qū)間上的最大值為 4

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二倍角公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題