Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2(n-1)（n∈N⁺）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并分別寫出a_n和S_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：

1

5

≤T_n＜

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把遞推式變形得到S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*），結(jié)合n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1得到數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，進(jìn)一步求出a_n和S_n．
（2）

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法和T_n單調(diào)遞增，能證明

1

5

≤T_n＜

1

4

．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2(n-1)，（n∈N^*），
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），即a_n-a_n-1=4，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．
于是，a_n=4n-3，S_n=2n²-n（n∈N^*）．
（2）證明：∵

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，
∴T_n=

1

4

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

)
=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

，
又知T_n單調(diào)遞增，
故T_n≥T₁=

1

a1a2

=

1

5

，
∴

1

5

≤T_n＜

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．