Question

已知函數.

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；

（3）設函數，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）. （3）. 

【解析】

試題分析：（1）當時，函數， ．        　　　　　　　　　　　    

，

曲線在點處的切線的斜率為．   2分

從而曲線在點處的切線方程為，

即．             3分

（2）．                 4分

令，要使在定義域內是增函數，只需在內恒成立.                5分

由題意＞0，的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，∴，

只需，即，

∴在內為增函數，正實數的取值范圍是.       7分

（3）∵在上是減函數，

∴時，； 時，，即， 8分

①當＜0時，，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在軸的左側，且，∴在內是減函數．

當時，，因為，所以＜0，＜0，

此時，在內是減函數．

故當時，在上單調遞減，不合題意…10分

②當0＜＜1時，由，

所以．

又由（Ⅱ）知當時，在上是增函數，

∴＜，不合題意； 12分

③當時，由（Ⅱ）知在上是增函數，，

又在上是減函數，

故只需＞，，

而，，即 ，

解得＞ ，所以實數的取值范圍是.    ……15分

考點：本題考查了導數的運用

點評：導數試題一般分為三個層次：第一主要考查導數的概念、求導公式、求導法則和與實際背景有關的問題（如瞬時速度，邊際成本，加速度、切線的斜率）；第二主要考查導數的簡單應用，包括求函數的極值、最值，求函數的單調區(qū)間，證明函數的單調性等；第三將導數內容和傳統內容中有關函數、三角、數列、不等式和解析幾何等有機地結合在一塊，設計綜合題。