Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2+bx的極大值點(diǎn)為x=-1．
（Ⅰ）用實(shí)數(shù)a來(lái)表示實(shí)數(shù)b，并求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）的最小值為-

2

3

，求a的值；
（Ⅲ）設(shè)A（-1，f（-1）），B（2，f（2）），A，B兩點(diǎn)的連線斜率為k．求證：必存在x₀∈（-1，2），使f^′（x₀）=k．

Answer 1

分析：（I）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)x=-1出的值為0，得到a，b的關(guān)系；利用導(dǎo)函數(shù)的韋達(dá)定理求出另一個(gè)極值點(diǎn)，據(jù)x=-1是極大值得到兩個(gè)極值點(diǎn)的大小關(guān)系，列出不等式求出a的范圍．
（II）據(jù)（I）得到函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)極值點(diǎn)1-2a與區(qū)間端點(diǎn)位置關(guān)系的討論，求出函數(shù)的最小值，列出方程求出a的值．
（III）利用兩點(diǎn)連線的斜率公式求出k，令f^′（x₀）=k有解，通過(guò)二次方程的實(shí)根分布，得到證明．

解答：解：（Ⅰ）f^′（x₀）=x²+2ax+b，由題設(shè)知f^′（-1）=0
∴b=2a-1
韋達(dá)定理得另一極值點(diǎn)x=-b=1-2a，因?yàn)閤=-1為極大值點(diǎn)
故1-2a＞-1，
∴a＜1
（Ⅱ）f（x）在（-∞，-1）上遞增，在（-1，1-2a）遞減，在（1-2a，+∞）上遞增，
故當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，分情況如下：
①1-2a≥2，即a≤-

1

2

時(shí)，f（x）在x∈[-1，2]上單調(diào)遞減
∴f(x)min=f(2)=8a+

2

3

=-

2

3

，
解得a=-

1

6

，不合條件，舍去
②1-2a＜2，即-

1

2

＜a＜1時(shí)，
∴f(x)min=f(1-2a)=

1

3

(1-2a)3+a(1-2a)2-(1-2a)2=

1

3

(1-2a)2(a-2)
∴

1

3

(1-2a)2(a-2)=-

2

3

，化簡(jiǎn)得a（2a-3）²=0，a=0或a=

3

2

，取a=0
綜上，故所求的a=0
（Ⅲ）k=

f(2)-f(-1)

2-(-1)

=3a，即證x₀²+2ax₀+b=3a
即證方程x²+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有實(shí)數(shù)解
記g（x）=x²+2ax-a-1=0（a＜1），
g（-1）=-3a，g（2）=3a+3
①當(dāng)g（-1）•g（2）=-3a（a+1）＜0，即a＜-1或0＜a＜1時(shí)，由零點(diǎn)存在定理知此時(shí)方程有解
②a＜0時(shí)，此時(shí)△=4（a²+a+1）＞0，g（2）＞0，g（-1）＞0，且二次函數(shù)g（x）的
對(duì)稱軸x=-a∈（0，1）⊆（-1，2），由此可知此時(shí)方程在（-1，2）內(nèi)有兩個(gè)解
③a=-1時(shí)方程有一根為x=0，當(dāng)a=0時(shí)方程有一根為x=1
綜上可知，方程x²+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有實(shí)數(shù)解．
即必存在x₀∈（-1，2），使f'（x₀）=k．

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0；解決二次方程實(shí)根分布問(wèn)題常從判別式、對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)、區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)幾方面考慮．