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已知點B1(1，y1)，B2(2，y2)，…，Bn(n，yn)，…(n∈N*)順次為直線y=x+上的點，點A1(x1，0)，A2(x2，0)，…，An(xn，0)，…順次為x軸上的點，其中x1=a(0＜a＜1).對于任意n∈N*，點An，Bn，An+1構成以Bn為頂點的等腰三角形．

(1)求數列{yn}的通項公式，并證明它為等差數列；

(2)求證：xn+2－xn是常數，并求數列{xn}的通項公式；

(3)上述等腰△AnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此時a的值；若不可能，請說明理由．

答案：
解析：

(2)xn=;(3)當a=或a=或a=時，存在直角三角形．

(1)證明：yn=n+，yn+1－yn=，所以數列{yn}是等差數列．

(2)解：由題意知，=n，所以數列xn+xn+1=2n.①

xn+1+xn+2=2(n+1).②

①、②相減，得xn+2－xn=2.

∴x1，x3，x5，…，x2n－1，…成等差數列；x2，x4，x6，…，x2n，…成等差數列，

∴xn=

(3)解：當n是奇數，An(n+a－1，0)，An+1(n+1－a，0)，所以|AnAn+1|=2(1－a);當n是偶數時，An(n－a，0)，An+1(n+a，0)，所以|AnAn+1|=2a;

作BnCn⊥x軸于Cn，則|BnCn|=n+．

要使等腰三角形AnBnAn+1為直角三角形，必需且只需|AnAn+1|=2|BnCn|．

所以，當n為奇數時，有2(1－a)=2(n+)，即12a=11－3n.(*)

當n=1時，a＝；當n=3時，a＝；當n≥5時，方程(*)無解．

當n是偶數時，12a＝3n＋1，同理可求得a=．

綜上，當a=或a=或a=時，存在直角三角形．


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源：2007-2008學年上海市嘉定一中第一學期高三數學測試二(理) 題型：044

已知點B1(1，y1)，B2(2，y2)，…，Bn(n，yn)，…，(n∈N)順次為直線上的點，點A1(x1，0)，A2(x2，0)，…，An(xn，0)順次為x軸上的點，其中x1＝a(0＜a＜1)．對于任意自然數n，點An，Bn，An＋1構成以Bn為頂點的等腰三角形．

(1)求數列{yn}的通項公式，并證明它為等差數列；

(2)求證：xn+2－xn是常數，并求數列{xn}的通項公式；

(3)上述等腰△AnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此時a的值；若不可能，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2007-2008學年上海市嘉定一中第一學期高三數學測試二(文) 題型：044

已知點B1(1，y1)，B2(2，y2)，…，Bn(n，yn)，…(n∈N)順次為直線上的點，點A1(x1，0)，A2(x2，0)，…，An(xn，0)順次為x軸上的點，其中x1＝a(0＜a＜1)．對于任意自然數n，點An，Bn，An＋1構成以Bn為頂點的等腰三角形．

(1)求數列{yn}的通項公式，并證明它為等差數列；

(2)求證：xn+2－xn是常數，并求數列{xn}的通項公式；

(3)上述等腰△AnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此時a的值；若不可能，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：重慶市萬州二中2010屆高三下學期3月月考數學文科試題 題型：044

已知點B1(1，y1)，B2(2，y2)，…，Bn(n，yn)，…(n∈N*)順次為直線y＝上的點，點A1(x1，0)，A2(x2，0)，…An(xn，0)，…(n∈N*)順次為軸上的點，其中x1＝a(0＜a＜1)，對任意的n∈N*，點An、Bn、An+1構成以Bn為頂點的等腰三角形．

(Ⅰ)證明：數列{yn}是等差數列；

(Ⅱ)求證：對任意的n∈N*，xn+2－xn是常數，并求數列{xn}的通項公式；

(Ⅲ)在上述等腰三角形AnBnAn+1中是否存在直角三角形，若存在，求出此時a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

(理)已知點B1(1，y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)順次為某直線l上的點，點A1(x1,0),A2(x2,0),…,An(xn,0)，…順次為x軸上的點，其中x1=a(0＜a≤1).對于任意的n∈N*,△AnBnAn+1是以Bn為頂點的等腰三角形.

(1)證明xn+2-xn是常數，并求數列{xn}的通項公式.

(2)若l的方程為y=,試問在△AnBnAn+1(n∈N*)中是否存在直角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

(文)已知函數f(x)=ax3x2+cx+d(a、c、d∈R)滿足f(0)=0,f′(1)=0,且f′(x)≥0在R上恒成立.

(1)求a、c、d的值.

(2)若h(x)=x2-bx+,解不等式f′(x)+h(x)＜0.

(3)是否存在實數m,使函數g(x)=f′(x)-mx在區(qū)間［m,m+2］上有最小值-5?若存在，請求出實數m的值；若不存在，請說明理由.

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