對于任意實數(shù)a，要使函數(shù)Y=5cox（
2k+1
3
πx-
π
6
）（k∈N*）在區(qū)間[a，a+3]上的值
5
4
出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，則k=
2和3
2和3
．
分析：根據(jù)函數(shù)一個周期有且只有2個不同的自變量使其函數(shù)值為
5
4
，故
5
4
出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，得到該函數(shù)在此區(qū)間上至少2個周期，至多4個周期，由區(qū)間的長度為3，列出關(guān)于周期T的不等式組，再找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)的周期T，將求出的T代入不等式組得到關(guān)于k的不等式組，求出不等式組的解集中的正整數(shù)解即可得到k的值．
解答：解：函數(shù)在一個周期內(nèi)有且只有2個不同的自變量使其函數(shù)值為
5
4
，
因此該函數(shù)在區(qū)間[a，a+3]（該區(qū)間的長度為3）上至少有2個周期，至多有4個周期，
因此
3≥2T
3≤4T
，即
3
4
≤T≤
3
2
，
又∵ω=
2k+1
3
π，∴T=
6
2k+1
，
∴
3
4
≤
6
2k+1
≤
3
2
，
解得
3
2
≤k≤
7
2
，又k∈N，
則k=2或3．
故答案為：2或3
點評：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．根據(jù)題意得出該函數(shù)在區(qū)間[a，a+3]（該區(qū)間的長度為3）上至少有2個周期，至多有4個周期是本題的突破點，將所求的k的值進行轉(zhuǎn)化與化歸，列出關(guān)于k的不等式是解決本題的關(guān)鍵，充分利用函數(shù)的周期性和區(qū)間長度的關(guān)系，注意不等式思想的運用．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在下列命題中：
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，θ∈（
π
4
，
π
2
），則f（sinθ）＞f（cosθ）；
②若銳角α、β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜
π
2
；
③若f（x）=2cos2
x
2
-1，則f（x+π）=f（x）對x∈R恒成立；
④對于任意實數(shù)a，要使函數(shù)y=5cos（
2k+1
3
πx-
π
6
）（k∈N*）在區(qū)間[a，a+3]上的值
5
4
出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，則k可以取2和3．       
其中真命題的序號是
②④
②④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•上海一模）對于任意實數(shù)a，要使函數(shù)y=5cos(
2k+1
3
πx-
π
6
)(k∈N*)在區(qū)間[a，a+3]上的值
5
4
出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，則k可以取（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在下列命題中：
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，θ∈（
π
4
，
π
2
），則f（sinθ）＞f（cosθ）；
②若銳角α、β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜
π
2
；
③若f（x）=2cos2
x
2
-1，則f（x+π）=f（x）對x∈R恒成立；
④對于任意實數(shù)a，要使函數(shù)y=5cos（
2k+1
3
πx-
π
6
）（k∈N*）在區(qū)間[a，a+3]上的值
5
4
出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，則k可以取2和3．       
其中真命題的序號是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江蘇省宿遷市泗陽中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)模擬試卷1（解析版） 題型：填空題

對于任意實數(shù)a，要使函數(shù)Y=5cox（-）（k∈N*）在區(qū)間[a，a+3]上的值出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，則k=    ．

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