Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，要使函數(shù)Y=5cox（

2k+1

3

πx-

π

6

）（k∈N^*）在區(qū)間[a，a+3]上的值

5

4

出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，則k=

2和3

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)一個(gè)周期有且只有2個(gè)不同的自變量使其函數(shù)值為

5

4

，故

5

4

出現(xiàn)的次數(shù)不小于4次，又不多于8次，得到該函數(shù)在此區(qū)間上至少2個(gè)周期，至多4個(gè)周期，由區(qū)間的長(zhǎng)度為3，列出關(guān)于周期T的不等式組，再找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)的周期T，將求出的T代入不等式組得到關(guān)于k的不等式組，求出不等式組的解集中的正整數(shù)解即可得到k的值．

解答：解：函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)有且只有2個(gè)不同的自變量使其函數(shù)值為

5

4

，
因此該函數(shù)在區(qū)間[a，a+3]（該區(qū)間的長(zhǎng)度為3）上至少有2個(gè)周期，至多有4個(gè)周期，
因此

3≥2T 3≤4T

，即

3

4

≤T≤

3

2

，
又∵ω=

2k+1

3

π，∴T=

6

2k+1

，
∴

3

4

≤

6

2k+1

≤

3

2

，
解得

3

2

≤k≤

7

2

，又k∈N，
則k=2或3．
故答案為：2或3

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．根據(jù)題意得出該函數(shù)在區(qū)間[a，a+3]（該區(qū)間的長(zhǎng)度為3）上至少有2個(gè)周期，至多有4個(gè)周期是本題的突破點(diǎn)，將所求的k的值進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，列出關(guān)于k的不等式是解決本題的關(guān)鍵，充分利用函數(shù)的周期性和區(qū)間長(zhǎng)度的關(guān)系，注意不等式思想的運(yùn)用．