Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上．
（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；
（Ⅱ）求折痕的長的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）因?yàn)檎郫B過程中，A點(diǎn)落在線段DC上，特別的如果折疊后AD重合，這時候折痕所在直線的斜率為0，若AD不重合，這時候折痕所在直線的斜率不為0，然后根據(jù)A點(diǎn)和對折后的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于直線折痕對稱，我們可以求出直線方程．
（II）同（I）的分析，我們要對痕所在直線的斜率分類討論，斜率為0時，易得結(jié)論，斜率不為0時，我們又要分折痕所在直線與矩形兩邊的交點(diǎn)在左右兩邊、上下兩邊、左下兩邊三種情況討論，本小題分類情況比較多，故解答要細(xì)心！
解答：解：（I）（1）當(dāng)k=0時，此時A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程y=．
（2）當(dāng)k≠0時，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)為G（a，1）（0＜a≤2），
所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有k_OG•k=-1，k=-1⇒a=-k．
故G點(diǎn)坐標(biāo)為G（-k，1）（-2≤k＜0）．
從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段OG的中點(diǎn)）為M（-，）．
折痕所在的直線方程y-=k（x+），即y=kx++（-2≤k＜0）．
由（1）、（2）得折痕所在的直線方程為：
k=0時，y=；k≠0時y=kx++（-2≤k＜0）．

（II）（1）當(dāng)k=0時，折痕的長為2；
（2）當(dāng)k≠0時，①如下圖，折痕所在的直線與邊AD、BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（0，），P（2，2k+）．

這時，-2+＜k＜0，y=PN²=4+4k²=4（1+k²）∈（4，16（2-））
②如下圖，折痕所在的直線與邊AD、AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（0，），P（-，0）．

這時，-1≤k≤-2+，y=+=．
y′==
令y′=0解得k=-，
∵y=|_k=-1=2，y==，y=16（2-），
∴y∈[，16（2-）]
③如下圖，折痕所在的直線與邊CD、AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（，1），P（-，0）．

這時，-2≤k＜-1，y=PN²=+1∈[，2）．
綜上述，y_max=16（2-）
所以折痕的長度的最大值=2（-）（≈2.07）．
點(diǎn)評：分類討論思想是中學(xué)的四大數(shù)學(xué)思想之一，利用分類討論思想一方面可將復(fù)雜的問題分解成若干個簡單的問題，另一方面恰當(dāng)?shù)姆诸惪杀苊鈦G值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)教養(yǎng)．但在針對本題的解答中，要注意分析所有的可能情況，并要注意不重分，不漏分．