Question

在[

1

2

，2]上，函數(shù)f（x）=x²+px+q與函數(shù)g(x)=2x+

1

x2

在同一點處取得相同的最小值，那么函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是（　　）

• A、

  13

  4

• B、4
• C、8
• D、

  5

  4

Answer 1

分析：由于函數(shù)f（x）=x²+px+q與函數(shù)g(x)=2x+

1

x2

在[

1

2

，2]上的同一點處取得相同的最小值，對與函數(shù)g(x)=2x+

1

x2

=x+x+

1

x2

可以利用均值不等式求出最小值及取最小值時的x的值，在對于f（x）利用題意得到p，q的方程，使得f（x）的解析式具體，然后求出f（x）在定義域上的最大值即可．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x²+px+q與函數(shù)g(x)=2x+

1

x2

在[

1

2

，2]上的同一點處取得相同的最小值，
對與g(x)=2x+

1

x2

=x+x+

1

x2

≥3

x•x• 1 x2

=3（當且僅當x=

1

x2

即x=1時取等號），
∴由f（x）=x²+px+q及題意知道：

- p 2 =1 f(1)=1+p+q=3

?

p=-2 q=4

，
所以f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3  當x∈[

1

2

，2]時，
利用二次函數(shù)的對稱性可以知道：此二次函數(shù)的對稱軸為x=1，并且此函數(shù)開口向上，
所以當自變量x=2時離對稱軸最遠故當x-2時使得此函數(shù)在所各的定義域內(nèi)函數(shù)值最大，
故f（x）_max=f（2）=2²-2×2+4=4．
故答案為：B

點評：此題考查了均值不等式求最值，二次函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)．