Question

（本題滿分18分，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿

分6分）

已知函數(shù)，如果存在給定的實數(shù)對（），使得恒成立，則稱為“S-函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)是否是“S-函數(shù)”；

（2）若是一個“S-函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對；

（3）若定義域為的函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和，當時，的值域為，求當時函數(shù)的值域.

Answer 1

（本題滿分18分，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿

分6分）

已知函數(shù)，如果存在給定的實數(shù)對（），使得恒成立，則稱為“S-函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)是否是“S-函數(shù)”；

（2）若是一個“S-函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對；

（3）若定義域為的函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和，當時，的值域為，求當時函數(shù)的值域.

解：（1）若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)，使得 (a+x)(a-x)=b.

即x²=a²-b時，對xÎR恒成立.而x²=a²-b最多有兩個解，矛盾，

因此不是“S-函數(shù)”.……………………………………………………3分

若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)a,b使得，

即存在常數(shù)對（a, 3^2a）滿足.

因此是“S-函數(shù)”………………………………………………………6分

（2）是一個“S-函數(shù)”，設有序?qū)崝?shù)對（a, b）滿足:

則tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.

當a=時，tan(a-x)tan(a+x)= -cot²(x)，不是常數(shù).……………………7分

因此，,

則有.

即恒成立.  ……………………………9分

即,

當,時，tan(a-x)tan(a+x)=cot²(a)=1.

因此滿足是一個“S-函數(shù)”的常數(shù)（a, b）=.…12分

(3) 函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和，

于是

即,

 ，.……………………14分

.………16分

                  

因此, …………………………………………17分

綜上可知當時函數(shù)的值域為.……………18分