Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x-3．
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是單調(diào)遞增函數(shù)？若存在，試求出a的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在x=1時(shí)取得極小值，所以當(dāng)x=1時(shí)，導(dǎo)數(shù)等于0，即可求出a的值．
（2）先判斷函數(shù)f'（x）=3x²+2ax-2有兩個(gè)零點(diǎn)，且為異號(hào)，要使f（x）在(

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3

，

1

2

)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則f'（x）≥0在(

1

3

，

1

2

)恒成立，數(shù)形結(jié)合可知需

f′( 1 3 )＞0 f′( 1 2 )＞0

，解不等式即可得出a的范圍

解答：解：（1）由已知有f′（x）=3x²+2ax-2，f'（1）=0，∴a=-

1

2

（2）令f'（x）=3x²+2ax-2=0，∵△=4a²+24＞0，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根，分別記為x₁，x₂，又x1x2=-

2

3

＜0
所以在(

1

3

，

1

2

)內(nèi)方程f'（x）=3x²+2ax-2=0不可能有兩個(gè)解
故要使得f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是單調(diào)遞增函數(shù)的充要條件是

f′( 1 3 )＞0 f′( 1 2 )＞0

，解得a＞

5

2

所以存在實(shí)數(shù)a＞

5

2

，使得f（x）在(

1

3

，

1

2

)上是單調(diào)遞增函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題時(shí)要牢記函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的充要條件，避免丟解現(xiàn)象發(fā)生