Question

已知函數(shù)f（x）=x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值；
（II）當(dāng)a=3時，求函數(shù)h（x0的單調(diào)區(qū)間及極值；
（III）若對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函數(shù)h（x）滿足，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用基本不等式求出函數(shù)的最小值，驗證等號何時取得．
（II）將a的代入h（x），求出導(dǎo)函數(shù)，列出x，h′（x），h（x）的變化如下表，求出極值．
（III）構(gòu)造新函數(shù)令，通過函數(shù)F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增令導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖象，只需判別式小于等于0，求出a的范圍．
解答：解：（I），其中x＞0．
因為a＞1，所以a-1＞0，又x＞0，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，其最小值為．…（4分）
（II）當(dāng)a=3時，，．…..（6分）
x，h′（x），h（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+		-		+
h（x）	遞增		遞減	2ln2-4	遞增

所以，函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（1，2）．
…．（8分）
函h（x）在x=1處取得極大值，在x=2處取得極小2ln2-4．
…．（10分）
（III）由題意．
不妨設(shè)x₁＜x₂，則得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂．…（12分）
令，則函數(shù)F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
=在（0，+∞）恒成立．
即G（x）=x²-（a-1）x+a-1≥0（在0，+∞）恒成立．
因為，因此，只需△=（a-1）²-4（a-1）≤0．
解得1＜a≤5．
故所求實數(shù)a的取值范圍1＜a≤5．…．（14分）
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，也是．教學(xué)中的重點和難點，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．