Question

已知（1+3x）ⁿ的展開式中，末三項的二項式系數(shù)的和等于121，求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

∵末三項的二項式系數(shù)分別為C_n^n-2，C_n^n-1，C_nⁿ
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=121
∴C_n²+C_n¹+C_n⁰=121即n²+n-240=0
∴n=15或n=-16（舍）
∴T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
設(shè)第r+1項與第r項的系數(shù)分別為t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₅^r3^r，t_r=C₁₅^r-13^r-1
∴t_r+1≥t_r則可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴當r取小于12的自然數(shù)時，都有t_r＜t_r+1當r=12時，t_r+1=t_r
∴展開式中系數(shù)最大的項為T₁₂=C₁₅¹¹3¹¹x¹¹和T₁₃=C₁₅¹²3¹²x¹²