Question

 已知函數(shù)

（1）若b＝2，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)的圖象C₁與函數(shù)圖象C₂交于點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)作軸的垂線分別交C₁，C₂于點(diǎn)M、N，證明C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不平行

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1），

則

因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以<0有解

又因?yàn)?i>x>0時(shí)，則ax²+2x－1>0有x>0的解.

①當(dāng)a>0時(shí)，y=ax²+2x－1為開口向上的拋物線，ax²+2x－1>0總有x>0的解；

②當(dāng)a<0時(shí)，y=ax²+2x－1為開口向下的拋物線，而ax²+2x－1>0總有x>0的解；

  則△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此時(shí)，－1<a<0.

  綜上所述，a的取值范圍為（－1，0）∪（0，+∞）          …………6分

   （2）證：  設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（x₁, y₁），（x₂, y₂），0<x₁<x₂.

         則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為

         C₁在點(diǎn)M處的切線斜率為

         C₂在點(diǎn)N處的切線斜率為

         假設(shè)C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線平行，則k₁=k₂.

         即，則

                 =

      所以  設(shè)則①

     令則

    因?yàn)?sub>時(shí)，，所以在）上單調(diào)遞增. 故

    則. 這與①矛盾，假設(shè)不成立

    故C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不平行              ………………12分