Question

15．若函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinx-cosx$，$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，則函數(shù)f（x）值域為（　�。�

• A． [-1，1]
• B． [-2，1]
• C． $[{-2，\sqrt{3}}]$
• D． $[{-1，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 化函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinx-cosx$為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性和x的取值范圍求出f（x）的最值即可．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinx-cosx$
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）
=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時，-$\frac{2π}{3}$≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{3}$，
所以當(dāng)x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{3}$時，
f（x）取得最小值為2×（-1）=-2；
當(dāng)x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，即x=$\frac{π}{2}$時，
f（x）取得最大值為2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；
所以函數(shù)f（x）的值域為[-2，$\sqrt{3}$]．
故選：C．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．