Question

已知P是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，0），線段NP的垂直平分線交直線MP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為C.

（1）求出軌跡C的方程，并討論曲線C的形狀；

（2）當(dāng)時(shí)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)E，使得對(duì)曲線C的任意一條過(guò)E的弦AB，為定值？若存在，求出定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）以，為焦點(diǎn)的橢圓；（2）定值6，定點(diǎn)E．設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程，代入

【解析】

試題分析：（1）利用線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)橢圓的定義，即可求出軌跡的方程；（2）當(dāng)時(shí)，軌跡必為橢圓方程，設(shè)，分別過(guò)E取兩垂直與坐標(biāo)軸的兩條弦CD，，根據(jù)求出E若存在必為定值為6．再進(jìn)行證明．存在性問(wèn)題，先猜后證是關(guān)鍵.再設(shè)設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線方程，代入橢圓方程，消去，設(shè)，，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求得為定值6.

（1）由題意，，所以，

所以軌跡是以、為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸的橢圓，

其方程為.（4分）

（2）由（1）當(dāng)時(shí)，曲線C為，

設(shè)，分別過(guò)E取兩垂直與坐標(biāo)軸的兩條弦CD，，

則，即

解得，所以E若存在必為定值為6． （6分）

下證滿足題意.

設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線方程為，代入C中得：

,設(shè)，

則 （8分）

（13分）

同理可得E也滿足題意.

綜上得定點(diǎn)為E，定值為（14分）

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用，圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程，軌跡方程的問(wèn)題.