Question

已知正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動點，且|PQ|=，建立如圖所示的坐標系;

(1)確定P、Q的位置，使得B₁Q⊥D₁P;

(2)當B₁Q⊥D₁P時，求二面角C₁-PQ-A的正切.

Answer 1

解：(1)設BP=t, 則,,

∴B₁(2, 0, 2), D₁(0, 2, 2), P(2, t, 0),.

∴,

=(-2, 2-t, 2).

∵B₁Q⊥D₁P等價于,

即,

即.解得t=1.

此時, P、Q分別是棱BC、CD的中點, 即當P、Q分別是棱BC、CD的中點時, B₁Q⊥D₁P.

(2)當B₁Q⊥D₁P時, 由(1)知, P、Q分別是棱BC、CD的中點, 在正方形ABCD中, PQ∥BD, 且AC⊥BD, 故AC⊥PQ.

設AC與PQ的交點為E, 連結(jié)C₁E.在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中, CC₁⊥底面ABCD, CE是C₁E在底面ABCD內(nèi)的射影,

∴C₁E⊥PQ, 即∠C₁EC是二面角C₁PQC的平面角, ∠C₁EA是二面角C₁-PQ-A的平面角.

在正方形ABCD中,；

在Rt△C₁EC中,.

∴二面角C₁—PQ—A的正切為.